Fundamentos de Processamento de Sinal

Apresentação da Unidade Curricular: introdução ao Processamento de Sinal Discreto, enquadramento dos objetivos da unidade curricular, dos conteúdos previstos, da metodologia e instrumentos de avaliação distribuída, e da avaliação final.

Algumas propriedades básicas de sinais: contínuos versus discretos, periódicos versus aperiódicos, determinísticos versus aleatórios, de energia versus de potência.

Sequências sinusoidais com um SNR predefinido.
As funções de auto-correlação e correlação cruzada: conceito e significado, definição, exemplos e propriedades.

Breves revisões sobre a representação nas frequências de sinais e sistemas discretos.
Transformada de Fourier para sinal discreto (DTFT). A DTFT da função auto-correlação e da correlação cruzada.
Resolução de problema prático sobre a combinação de sistemas discretos e a caracterização no domínio de Fourier da equação às diferenças.

Amostragem e reconstrução de sinais: amostragem periódica de sinais contínuos e sua interpretação e caracterização espetral.

Reconstrução de sinais contínuos a partir de amostras, interpretação no domínio temporal e espetral. Reconstrução ideal e reconstrução de ordem zero.
Resolução de problema prático sobre as propriedades da transformada de Fourier.

Processamento no domínio discreto de sinais contínuos e ligação com os trabalhos de laboratório.
Transformada em Z: conceito e definição, transformada Z direta, região de convergência e suas propriedades.

Distribuição de polos e zeros no plano Z e sua relação com a Região de Convergência.
Pares representativos de transformadas Z.

Cálculo da Transformada Z inversa por inspeção, através de decomposição em frações parciais e através do cálculo do integral de linha. Propriedades da transformada Z.

Propriedades da transformada Z relativas à convolução e à multiplicação entre sequências no domínio discreto. O teorema de Parseval. A Transformada Z das funções auto-correlação e correlação-cruzada e o Teorema de Wiener-Khinchine.
Introdução à caracterização de sistemas LI no domínio das frequências. Categorização de filtros discretos de acordo com a sua seletividade em frequência. Conceitos de distorção de fase e atraso de grupo. Equação às diferenças e função de transferência.

Sistema inverso, caracterização no plano Z, condição de existência e exemplos. Representação das características de magnitude, fase e atraso de grupo de um sistema discreto e seu inverso. Sistemas de fase mínima.
Definição e particularidades dos sistemas passa-tudo. Utilização de sistemas passa-tudo na conversão entre sistemas de fase mínima e fase não mínima.
Pistas de correção relativas ao primeiro conjunto de Questões de Verificação.

Sistemas de fase linear: sistemas FIR do tipo 1, 2, 3 e 4, especificação e propriedades. Localização dos zeros para sistemas de fase linear. Estruturas para a realização de sistemas discretos. Estruturas diretas do tipo 1 e tipo 2 para a realização de sistemas IIR. Estruturas canónicas.

Estruturas em cascata e em paralelo para a realização de sistemas discretos do tipo IIR. Estruturas transpostas. Estruturas de realização de sistemas FIR e de sistemas FIR de fase linear. Exemplos
Resolução de exercício de aplicação da Transformada Z a casos práticos.

Notas sobre tipos de filtros contínuos mais representativos (Bessel, Buterworth, Chebyshev e Elipticos), suas características e vocação. Introdução ao projeto de filtros discretos. Projeto de filtros IIR a partir de filtros contínuos através do método da invariância da resposta ao impulso e através do método da transformação bilinear: particularidades, vantagens e inconvenientes.

Projeto de filtros FIR pelo método da janela. O efeito de Gibbs e estratégias de regulação através da utilização de diferentes janelas. Projeto ótimo (MINMAX) de filtros FIR de fase linear através do algoritmo de Parks McClellan.

Exemplos ilustrativos de projeto de filtros em ambiente Matlab.
As quatro transformadas de Fourier. A Transformada de Fourier Discreta (DFT), expressões de análise e síntese. Implicação da amostragem na frequência na periodização da representação temporal.

Propriedades elementares e circulares da DFT (linearidade, deslocamento circular, dualidade e simetria). A convolução periódica ou circular.

Condições de equivalência entre a convolução circular e a convolução linear.
Introdução ao cálculo rápido da transformada Discreta de Fourier através do algoritmo FFT. Motivação para o cálculo da FFT usando a decomposição de decimação no tempo (FFT-DIT).

O algoritmo FFT com decimação no tempo (FFT-DIT), sua estrutura computacional com base em butterflies e decorrente ganho computacional em relação ao cálculo pela definição. Relação do algoritmo FFT-DIT com o algoritmo FFT com decimação na frequência (FFT-DIT). Programação do algoritmo FFT-DIT. O algoritmo FFT com decimação na frequência, particularidades de implementação. O cálculo da IDFT através da DFT. O cálculo eficiente da DFT de sinais reais.

Motivação para a convolução linear rápida usando a FFT: a convolução de bloco e condição para a identidade entre a convolução linear e a circular.
Convolução linear rápida usando a convolução de bloco com FFTs: o método overlap-add e o método overlap-save.

Não houve aula em razão da participação na cerimónia da tomada de posse, na Reitoria, do Sr. Diretor da FMUP. Não obstante, foram comunicados aos Estudantes elementos de auto-estudo sobre a análise das funções auto/cross-correlation nos domínios da DTFT, Transformada Z e DFT/FFT e indicado que estes seriam rapidamente revistos na aula T seguinte.

A função auto-correlação e a correlação cruzada no domínio da DTFT, da Transformada-Z e da DFT. Propriedades. Ilustração com casos práticos. O Teorema de Wiener-Khintchine e o caso particular do Teorema de Parseval. O cálculo da correlação cruzada e da auto-correlação e usando a DFT/FFT.
Interpretação da DFT como um banco de filtros paralelos com respostas em frequência correspondentes a modulações espetrais de uma única resposta em frequência.

Dedução da resposta em frequência de cada filtro da DFT.
Visualização da resposta em frequência de cada filtro da DFT e discussão do impacto do uso de janelas diferentes quanto ao “near-end leakage” e “far-end leakage”.
Introdução à estimação espectral usando a DFT. Noção de periodograma, “sliding FFT” e espetrograma. Interpretação através da visualização de exemplos ilustrativos.

Filtragem adaptativa numa perspetiva prática: conceito e exemplos, algoritmos de gradiente. A filtragem ótima de Wiener.

Algoritmo de gradiente na filtragem adaptativa: o método do gradiente mais negativo, os algoritmos LMS e NLMS. O caso particular da eliminação de perturbação sinusoidal. Ligação com a área da aprendizagem por computador (Machine Learning).